Somme non première - Corrigé

Énoncé

Démontrer que la somme de cinq entiers naturels consécutifs n'est pas un nombre premier.

Solution

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Les entiers consécutifs à \(n\) sont \(n+1\) , \(n+2\) , \(n+3\) et \(n+4\) .

Ainsi, leur somme est
\(\begin{align*}S & = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)\\ & = 5n+10\\ & = 5(n+2)\end{align*}\)  
donc \(S\) est divisible par \(5\)  et n'est pas égale à 5 car sinon \(n\)  serait égal à \(-1\) , donc \(S\) n'est pas un nombre premier.